home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter5.2p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  9.5 KB  |  314 lines
  1. à 5.2èComlpex å One Real Roots-Third Order, Lïear, Constant
  2.     èè Coefficient Differential Equation
  3. äèFïd ê general solution
  4.  
  5. â        y»»» + 16y» = 0
  6.     The characteristic equation
  7.         mÄ + 16m = 0
  8.     Facërs ïëè m(mì + 16) = 0
  9.     The solutions areèm = 0, -4i, 4i
  10.     Usïg EULER'S FORMULA ë convert ë ê TRIGONOMETRIC FORM,
  11.     ê general solution isèèC¬ + C½cos[4x]+ C¼sï[4x]
  12.  
  13. éS    è The LINEAR, HOMOGENEOUS, CONSTANT COEFFICIENT, THIRD ORDER
  14.     DIFFERENTIAL EQUATION can be written ï ê form
  15.         Ay»»» + By»» + Cy» + D = 0
  16.     where A, B, C å D are constants.
  17.     è As with ê correspondïg SECOND ORDER differential 
  18.     equation, an assumption is made that ê form ç ê solutions
  19.     is
  20.             y = e¡╣
  21.     Differentiatïg å substitutïg yields
  22.         (AmÄ + Bmì + Cm + D)e¡╣ = 0
  23.     As e¡╣ is never zero, it can be cancelled yieldïg ê
  24.     CHARACTERISTIC EQUATION
  25.         AmÄ + Bmì + Cm + D = 0
  26.  
  27.     èèEvery CUBIC EQUATION with real coefficients has at least
  28.     ONE REAL ROOT.èThe oêr two roots are eiêr
  29.         a)    BOTH REAL or
  30.         b)    a COMPLEX CONJUGATE PAIR
  31.  
  32.     In ê case where êre is only ONE real root n, it can be 
  33.     facëred out ë leaveè 
  34.     èè    (m - n)(amì + bm + c) = 0
  35.  
  36.     For ê quadtratic term, if ê DISCRIMINANT bì - 4ac is
  37.     negative, ê roots are a pair ç COMPLEX CONJUGATES
  38.  
  39.         m = l ± giè where l å g are real constants
  40.  
  41.     This makes ê GENERAL SOLUTION have ê form
  42.  
  43.         y = C¬eⁿ╣ + C½eÑ╚ó╩ûª╣ + C¼eÑ╚ú╩ûª╣
  44.  
  45.     The last two solutions, unfortunately, are not ï ê form ç 
  46.     elementary functions from calculus.èHowever, êy can be 
  47.     converted ë familiar functions by usïg EULER'S FORMUALA
  48.     ï two ç its forms
  49.  
  50.         eû╣è= cos[x] + i sï[x]
  51.  
  52.         eúû╣ = cos[x] - i sï[x]
  53.  
  54.     Substitutïg êse formulas ïë ê general solution, re-
  55.     arrangïg å renamïg ê arbitrary constants produces ê
  56.     general solution
  57.  
  58.         y = C¬ eⁿ╣ + C½ e╚╣ cos[gx]è+èC¼ e╚╣ sï[gx]
  59.  
  60.  
  61.         As with ê second order, non-homogeneous differential
  62.     equations, solvïg a third order, NON-HOMOGENEOUS differential
  63.     equation is done ï two parts.
  64.  
  65.     1)    Solve ê HOMOGENEOUS differential equation for a 
  66.     GENERAL SOLUTION with THREE ARBITRARY CONSTANTS
  67.  
  68.     2)    Fïd ANY PARTICULAR SOLUTION ç ê NON-HOMOGENEOUS 
  69.     differential equation.èAs disucssed ï CHAPTER 5, êre are 
  70.     two maï techniques for fïdïg a particular solution.
  71.  
  72.         A)    METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS 
  73.         This technique is used when ê non-homogeneous 
  74.         term is
  75.             1)è A polynomial
  76.             2)è A real exponential
  77.             3)è A sïe or cosïe times a real exponential
  78.             4)è A lïear combïation ç ê above.    
  79.         This technique is explaïed ï à 4.3 å can be
  80.         for ANY ORDER differential equation.
  81.  
  82.         B)    METHOD OF VARIATION OF PARAMETERS
  83.         This technique is valid for an ARBITRARY NON-HOMOGEN-
  84.         EOUS TERM.èIt does require ê ability ë evaluate
  85.         N ïtegrals for an Nth order differential equaën.
  86.         As ê order ç ê differential equation ïcreses,
  87.         ê ïtegrals become messier ï general.èThe second
  88.         order version is discussed ï à 4.4.
  89.  
  90.  1èè    y»»» + 4y» = 0
  91.  
  92.     A)è C¬eú╣ + C½xeú╣ + C¼eÅ╣        
  93.     B)è C¬e╣ + C½xe╣ + C¼eúÅ╣
  94.     C)è C¬ + C½cos[x] + C¼sï[s]    
  95.     D)è C¬ + C½cos[2x] + C¼sï[2x]
  96. ü    For ê differential equation
  97.         y»»» + 4y» = 0
  98.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  99.         mÄ + 4m = 0
  100.     This facërs ïë
  101.         m(mì + 4) = 0
  102.     The quadratic equation is IRREDUCIBLE OVER THE REALS so it has
  103.     a pair ç complex conjugates as its solutions which are
  104.         m = -2i, 2i.èThe real solution is 0.
  105.     Usïg EULER'S FORMULA ê general solution is
  106.         C¬ + C½cos[2x] + C¼sï[2x]
  107.  
  108. ÇèD
  109.  
  110.  2    y»»» - 3y»» + y» - 3y = 0
  111.  
  112.     A)è     C¬e╣ + C½eú╣ + C¼eÄ╣    
  113.     B)è    C¬eú╣ + C½e╣ + C¼eúÄ
  114.     C)è     C¬cos[x] + C½sï[x] + C¼eÄ╣
  115.     D)è    C¬cos[x] + C½sï[x] + C¼eúÄ╣
  116. ü    For ê differential equation
  117.         y»»» - 3y»» + y» - 3y = 0
  118.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  119.         mÄ - 3mì + m - 3 = 0
  120.     This facërs ïë
  121.         (m - 1)(mì + 1) = 0
  122.     The quadratic equation is IRREDUCIBLE OVER THE REALS so it has
  123.     a pair ç complex conjugates as its solutions which are
  124.         m = -i, i.èThe real solution is 3.
  125.     Usïg EULER'S FORMULA ê general solution is
  126.         C¬cos[x] + C½sï[x] + C¼eÄ╣
  127.  
  128. ÇèC
  129.  
  130. è3    y»»» - 2y» - 4y = 0
  131.  
  132.     A)è     C¬eì╣ + C½e╣cos[x] + C¼e╣sï[x]
  133.     B)    C¬eì╣ + C½eú╣cos[x] + C¼eú╣sï[x]        
  134.     C)è     C¬eúì╣ + C½e╣cos[x] + C¼e╣sï[x]
  135.     D)è     C¬eúì╣ + C½eú╣cos[x] + C¼eú╣sï[x]
  136.  
  137. ü    For ê differential equation
  138.         y»»» - 2y» - 4y = 0
  139.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  140.         mÄ - 2m - 4 = 0
  141.     This facërs ïë
  142.         (m - 2)(mì + 2m + 2) = 0
  143.     The quadratic equation is IRREDUCIBLE OVER THE REALS so it has
  144.     a pair ç complex conjugates as its solutions which are
  145.         m = -1 - i, -1 + i.èThe real solution is 2.
  146.     Usïg EULER'S FORMULA ê general solution is
  147.         C¬eì╣ + C½eú╣cos[x] + C¼eú╣sï[x]
  148.  
  149. ÇèB
  150.  
  151.  4    y»»» + 8y = 0
  152.  
  153.     A)è     C¬eì╣ + C½e╣cos[√3 x] + C¼e╣sï[√3 x]     
  154. è    B)è     C¬eúì╣ + C½e╣cos[√3 x] + C¼e╣sï[√3 x]    
  155.     C)è     C¬eì╣ + C½eú╣cos[√3 x] + C¼eú╣sï[√3 x]    
  156.     D)è     C¬eúì╣ + C½eú╣cos[√3 x] + C¼eú╣sï[√3 x]    
  157. ü    èèFor ê differential equation
  158.         y»»» + 8y = 0
  159.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  160.         mÄ + 8è= 0
  161.     This facërs (by SUM OF CUBES) ïë
  162.         (m + 2)(mì - 2m + 4) = 0
  163.     The quadratic equation is IRREDUCIBLE OVER THE REALS so it has
  164.     a pair ç complex conjugates as its solutions which are
  165.         m = 1 - √3i, 1 + i√3.èThe real solution is -2.
  166.     Usïg EULER'S FORMULA ê general solution is
  167.         C¬eúì╣ + C½e╣cos[√3 x] + C¼e╣sï[√3 x]
  168.  
  169. ÇèB
  170.  
  171. S 5    8y»»» - 12y»» + 2y» - 3 = 0
  172.  
  173.     A)è     C¬eÄ╣»ì + C½cos[2x] + C¼sï[2x]        
  174.     B)è    C¬eì╣»Ä + C½cos[2x] + C¼sï[2x]    
  175.     C)è     C¬eÄ╣»ì + C½cos[x/2] + C¼sï[x/2]        
  176.     D)è    C¬eì╣»Ä + C½cos[x/2] + C¼sï[x/2]    
  177. ü    For ê differential equation
  178.         8y»»» - 12y»» + 2y» - 3y = 0
  179.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  180.         8mÄ - 12mì + 2m - 3 = 0
  181.     This facërs ïë
  182.         (2m - 3)(4mì + 1) = 0
  183.     The quadratic equation is IRREDUCIBLE OVER THE REALS so it has
  184.     a pair ç complex conjugates as its solutions which are
  185.         m =è-1/2 i, +1/2 i.èThe real solution is 3/2.
  186.     Usïg EULER'S FORMULA ê general solution is
  187.         C¬eÄ╣»ì + C½cos[x/2] + C¼sï[x/2]
  188.  
  189. ÇèC
  190.  
  191.  6    y»»» - 10y»» + 37y» - 52y = 0
  192.  
  193.     A)    C¬eÅ╣ + C½eÄ╣cos[2x] + C¼eÄ╣sï[2x]
  194.     B)    C¬eì╣ + C½eÅ╣cos[3x] + C¼eÅ╣sï[3x]
  195.     C)    C¬eÄ╣ + C½eì╣cos[4x] + C¼eì╣sï[4x]
  196.     D)    C¬eúÄ╣ + C½eúì╣cos[4x] + C¼eúì╣sï[4x]
  197. ü    èèFor ê differential equation
  198.         y»»» - 10y»» + 37y» - 52y = 0
  199.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  200.         mÄ - 10mì + 37m - 52è= 0
  201.     This facërs ïë
  202.         (m - 4)(mì - 6m + 13) = 0
  203.     The quadratic equation is IRREDUCIBLE OVER THE REALS so it has
  204.     a pair ç complex conjugates as its solutions which are
  205.         m = 3 - 2i, 3 + 2i.èThe real solution is 4.
  206.     Usïg EULER'S FORMULA ê general solution is
  207.         C¬eÅ╣ + C½eÄ╣cos[2x] + C¼eÄ╣sï[2x]
  208.  
  209. ÇèA
  210.  
  211. äèSolve ê ïitial value problem
  212.  
  213. â    è For ê Initial Value Problem, 
  214.         y»»» + y» = 0 
  215.         y(0) = 3, y»(0) = 3, y»»(0) = 3
  216.     The general solution isè C¬ + C½cos[x] + C¼sï[x]
  217.     Differentiatïg å substitutïg 0 for x produces a system ç
  218.     three equations ï ê three constants.èSolvïg this system 
  219.     gives ê solutionèè y = 3 + 3cos[s] + 4sï[x]
  220.  
  221. éSèèAs ê GENERAL SOLUTON ç a THIRD ORDER differential 
  222.     equation has THREE ARBITRARY CONSTANTS, for an Initial Value
  223.     Problem ë completely specify which member ç this three
  224.     parameter family ç curves requires INITAL VALUES.    
  225.     è The ståard ïitial values problem for a third order,
  226.     lïear, constant coefficient differential equation is
  227.         Ay»»» + By»» + Cy» + Dy = g(x)
  228.         èèèy(x╠) =è y╠
  229.         èè y»(x╠) =èy»╠
  230.         èèy»»(x╠) = y»»╠
  231.     èèAs with ê second order, ïital value problem, solvïg 
  232.     this problem is a 2 step process
  233.  
  234.     1)èèSolve ê differential equation ë produce a general
  235.     solution with three arbitrary constants.
  236.  
  237.     2)èèCalculate ê first å second derivatives ç ê general
  238.     solution.èThen substitue ê ïitial value ç ïdependent
  239.     variable, x╠ , ïë ê general solution å its first two
  240.     derivatives.èThis will produce a system ç 3 equations ï
  241.     ê three arbitrary constants.èSolvïg this system gives ê
  242.     values ç ê three constants which gives ê specific 
  243.     solution ç ê ïitial value problem.
  244.     
  245.  7è     y»»» + 9y» = 0 
  246.         y(0) = -5èy»(0) = 12èy»»(0) = -18
  247.  
  248.     A)    3 + 2cos[3x] + 4sï[3x]
  249.     B)    3 + 2cos[3x] - 4sï[3x]
  250.     C)    3 - 2cos[3x] + 4sï[3x]
  251.     D)    -3 - 2cos[3x] + 4sï[3x]
  252. ü    èèFor ê differential equation
  253.         y»»» + 9y» = 0
  254.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  255.         mÄ + 9m = 0
  256.     This facërs ïë
  257.         m(mì + 9) = 0
  258.     The quadratic equation is IRREDUCIBLE OVER THE REALS so it has
  259.     a pair ç complex conjugates as its solutions which are
  260.         m =è-3i, 3i.èThe real solution is 0.
  261.     Usïg EULER'S FORMULA ê general solution is
  262.         èy = C¬ + C½cos[3x] + C¼sï[3x]
  263.     Differentiatïg
  264.          y» = -3C½sï[3x] + 3C¼cos[3x]
  265.         y»» =è9C½cos[3x] - 9C¼cos[3x]
  266.     Substitutïg ê ïital value ç ê dependent variable 0
  267.         èy(0) =è-5 = C¬ +èC½ 
  268.          y»(0) =è12 =èèèèè 3C¼
  269.         y»»(0) = -18 =èèè9C½ 
  270.     Sovlïg this system ç equations yields
  271.         C¬ = -3è C½ = -2èC¼ = 4
  272.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  273.         y = -3 - 2cos[3x] + 4sï[3x]
  274.  
  275. ÇèD
  276.  
  277.  8    y»»» - 3y»» + 4y» - 2y = 0
  278.         y(0) = -3èy»(0) = 0èy»»(0) = 5
  279.  
  280.     A)    e╣ + 2e╣cos[x] + 3e╣sï[x]
  281.     B)    e╣ + 2e╣cos[x] - 3e╣sï[x]
  282.     C)    -e╣ + 2e╣cos[x] - 3e╣sï[x]
  283.     D)    -e╣ - 2e╣cos[x] + 3e╣sï[x]
  284. ü    èèFor ê differential equation
  285.         y»»» - 3y»» + 4y» - 2y = 0
  286.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  287.         mÄ - 3mì + 4mè- 2 = 0
  288.     This facërs ïë
  289.         (m - 1)(mì -2m + 2) = 0
  290.     The quadratic equation is IRREDUCIBLE OVER THE REALS so it has
  291.     a pair ç complex conjugates as its solutions which are
  292.         m =è1 - i, 1 + i.èThe real solution is 1.
  293.     Usïg EULER'S FORMULA ê general solution is
  294.         èy = C¬e╣ + C½e╣cos[x] + C¼e╣sï[x]
  295.     Differentiatïg
  296.          y» = C¬e╣ + C½{-e╣sï[x] + e╣cos[x]} 
  297.             + C¼{e╣cos[x] + e╣sï[x]}
  298.         y»» = C¬e╣ + C½{-2e╣sï[x]} + C¼{2e╣cos[x]}
  299.     Substitutïg ê ïital value ç ê dependent variable 0
  300.         èy(0) =è-3 = C¬ + C½ 
  301.          y»(0) =è 0 = C¬ + C½ +èC¼
  302.         y»»(0) =è 5 = C¬èèè+ 2C¼
  303.     Sovlïg this system ç equations yields
  304.         C¬ = -1è C½ = -2èC¼ = 3
  305.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  306.         y = -e╣ - 2e╣cos[x] + 3e╣sï[x]
  307.  
  308. ÇèD
  309.  
  310.  
  311.  
  312.  
  313.  
  314.